Matemáticas IV

INECUACIONES

Relaciones Y Funciones

Dominio y rango

El dominio de una función f ( x ) es el conjunto de todos los valores para los cuales la función está definida, y el rango de la función es el conjunto de todos los valores que f toma.

Considere la función mostrada en el diagrama.

Aquí, el dominio es el conjunto { A , B , C , E }. D no está en el dominio, ya que la función no está definida para D .

El rango es el conjunto {1, 3, 4}. 2 no está en el rango, ya que no hay letra en el dominio que se enlace con el 2.

Imagen de una función

Para entender muy bien qué es la imagen de una función, antes hay que tener muy claro qué es el dominio de una función.

Te recuerdo que el dominio de una función es el rango de valores de x para los que existe f(x), es decir, los valores de x, para los que f(x) tiene un resultado.

Gráficamente, el dominio se mira en el eje x, ya que son los valores de x para los que la función existe, es decir, la función está representada encima.

Por ejemplo, tenemos la siguiente función:

Regla de correspondencia

Al definir una función matemática, lo que se hace es establecer el medio a través del cual se deben realizar las correspondencias entre dos conjuntos. La función en sí misma, por lo tanto, actúa como regla de correspondencia. Dicho de otro modo, el cálculo de una función consiste en descubrir cuál es la correspondencia general que existe en un conjunto con respecto a otro.

Podemos distinguir entre dos grandes clases de reglas de correspondencia. La correspondencia unívoca implica que a cada elemento del conjunto conocido como Dominio le corresponde un único elemento de uno denominado Codominio. La correspondencia biunívoca, por su parte, supone que la correspondencia inversa también resulta unívoca (es decir, a cada elemento del Codominio le corresponde un solo elemento del Dominio

Graficacion de funciones

Funciones especiales

Función Constante

$f$ en realidad no es una máquina que transforma números. Simplemente los ignora.

Por ejemplo, si nosotros asignamos $x=2$ , la máquina siempre nos devolverá el valor $a_0$ . Y ese mismo valor devolverá idependientemente del valor que asignemos a $x$ . Por eso no los transforma.

Puedes imaginar a la función constante como una máquina que no quiere batallar: simplemente te devuelve siempre el mismo valor. Geométricamente obtenemos una recta horizontal, pues el valor de $y = f(x)$ no cambia:

Función Escalona

Las funciones escalonadas tienen su nombre debido a que sus gráficas parecen escalones. En el ejemplo estudiado en la lección titulada Relaciones y funciones se explica un ejemplo que muestra una tabla con los importes del envío de paquetes de diferentes pesos

Función Inversa

Las funciones f y g son funciones inversas si f ( g ( x )) = x para todas las x en el dominio de g y g ( f ( x )) = x para todas las x en el dominio de f .

La inversa de una función f es usualmente denotada por f –1 y se lee “ f inversa.” (Dese cuenta que el superíndice –1 en f –1 no es un exponente

SOLUCIONES FUNCIÓN

1. f (x) = 3x + 5

Función Creciente y Decrecientes

Función creciente

A medida que aumenta el valor de x, aumenta el valor de y. La definición es la siguiente: una función es creciente en un intervalo si se cumple que:

Veamos un ejemplo gráfico:

Función decreciente

A medida que aumenta el valor de x, disminuye el valor de y. La definición es la siguiente: una función es decreciente en un intervalo si se cumple que:

Veamos un ejemplo gráfico:

Transformaciones Gráficas

Las gráficas de las siguientes funciones f(x)=x, f(x)=x²y f(x)=׀x׀ las conocemos. Cada una de ellas tiene una forma particular y sabemos cual es su forma general. En algunas ocasiones se nos pedirá trazar la gráfica de funciones parecidas a otras que ya conocemos. Estas se dibujan utilizando técnicas aplicadas a los modelos gráficos de cada función llamadas transformaciones. Estas transformaciones afectan la forma general de la gráfica de cada función. Las traslaciones, reflejos y las expansiones - compresiones son las transformaciones a estudiar.

Resultado de imagen para transformaciones graficas

Composición De Funciones

Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].

Veamos un ejemplo con las funciones f(x) = 2x y g(x) = 3x + 1.

(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1

(g o f) (–1) = 6 · –1 + 1 = –5

(g o f) (1) = 6 · 0 + 1 = 1

(g o f) (1) = 6 · 1 + 1 = 7

Modelo: Algebraico general de funciones polinomiales

Función Lineal

Modelo Gráfico

Como es de esperar, el método gráfico consiste en representar las gráficas asociadas a las ecuaciones del sistema para deducir su solución. La solución del sistema es el punto de intersección entre las gráficas. La razón de ello es que las coordenadas de dicho punto cumplen ambas ecuaciones y, por tanto, es la solución del sistema.

Como vamos a trabajar con sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (x e y), la gráfica de cada ecuación es una recta. Como consecuencia, la intersección de las gráficas es un único punto (a, b)

y la solución del sistema es x = a e y = b. No obstante, si las rectas son paralelas (no se cortan), el sistema no tiene solución, y si son iguales hay infinitas soluciones.

Resolución:

Lo primero que hacemos es despejar la y en ambas ecuaciones.

Primera ecuación:

Segunda ecuación:

Ahora vamos a calcular unos cuantos puntos de las dos funciones para representarlas. Utilizamos, por ejemplo, x = 0 y x = 2.

Para la primera función tenemos la tabla

Para la segunda función tenemos la tabla (utilizando los mismos valores para x):

Representamos los puntos de las tablas y los unimos:

La solución del sistema es el punto donde las gráficas se cortan:

Modelo Algebraico

Se denomina método algebraico a un método matemático de sustitución. En tales casos de uso del método el valor de una variable es expresado con los términos de otra variable y así luego sustituido en una ecuación. A diferencia de otros métodos algebraicos como el método de la eliminación, la ecuación es resuelta en los términos de una variable desconocida tras que en la otra variable ha sido eliminados de las ecuaciones por adición o sustracción.

Raíces

se conoce como raíz (o cero) de un polinomio o de una función (definida sobre un cierto cuerpo algebraico) f(x) a todo elemento x perteneciente al dominio de dicha función tal que se cumpla: